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2022年3月26日土曜日

3点が1直線上にある証明

【問1】
 平行四辺形ABCD内の1点Pを通り,各辺に平行線を引き辺AB,CD,BC,DAとの交点を,順にQ,R,S,Tとする。2直線QS,RTが点Oで交わる時,3点O,A,Cは1つの直線上にあることを示せ。


この問題の解答はここをクリックした先にあります。問題の本質を的確に把握して証明する、ベクトルの概念を用いた証明方法を示しました。

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メネラウスの定理の証明:線の垂直線への射影の利用
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遊戯王 ラビュリンス デッキパーツ 9種27枚

確率の問題を空試行を考えて解く

【問1】
 下の図のような格子状の道がある。スタートの場所Aから出発し,コインを 投げて,表が出たら右へ 1 区画進み,裏が出たら上へ 1 区画進むとする。
ただし,右の端で表が出たときと,上の端で裏が出たときは動かないものとす る。
 この試行を行なうとき、以下の問いに答えよ。
(1) 8 回コインを投げ てもゴールBに到達できない確率を求めよ。


 
この問題を自力で解いてください。その後で、ここをクリックした先に、この問題を「空試行を考えて解く解答」を書きましたので、参考のために、その解答も見てください。

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2022年3月8日火曜日

三角形の2辺と1つの角から残りの辺を求める

【問1】

上図の三角形ABCの長さbを求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。

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変な積分

(どの有理数のxの位置でも微分不可能な連続関数)
 下図のグラフの関数は連続関数で、関数の極限が存在するが、でこぼこしていて、でこぼこがxのあらゆる有理数にまで在り、どの有理数のxの位置においても微分不可能な関数です。

 上図のグラフのよう微分不可能な位置(x=有理数の点)が無限にある関数であっても、その積分範囲で1つながりに連続な関数は、積分はできます。
元の関数が連続関数等の、関数の極限が存在する関数の場合は、その関数を積分した関数は微分可能な関数になります。
こうして、極限が存在して1つながりに連続な関数を積分して関数群を作れば、その関数群は皆、微分可能な関数であることが保証されます。

(どの様な関数f(x)を積分しても得られない連続関数F(x))
 連続関数であり、かつ、あらゆるところで微分不可能な関数であるワイエルシュトラス関数等は、どのような関数f(x)を積分しても得ることができません。

(極限が存在しない点が無限にあり、積分不可能な関数)
 しかし、下のグラフの関数f(x)のように、どの位置においても関数の極限が存在しない関数もあり得ます。
 例えば、 
xが有理数の場合にf(x)=0であって、
xが無理数の場合のf(x)=1
という、極限が存在しない関数f(x)などです。
(f(x) ≡ 1-ディリクレ関数)

 そういう、極限が存在しない関数f(x)を積分して関数F(x)を得た場合(もし積分できた場合)、その積分により得られた関数F(x)は微分可能だろうか。
 そもそも、微分の計算は極限を求める計算なので、その関数f(x)が積分できても、その積分した関数F(x)を微分した場合に、元の関数f(x)は(極限値が存在しないので)、微分によっては得られないと考えます。

 この関数f(x)の変数x=x1からx=x2までの変数xの閉区間をn等分した小区間を作り、その小区間毎にf(x)の値f(ξ)を求めて、その値の和で積分します。
(1)その際に、 変数x=ξが全て有理数なら、f(ξ)=0になり、積分結果は0になります。
(2)一方、変数x=ξが全て無理数√2の有理数倍なら、f(ξ)=1になり、積分結果は(x2-x1)になります。
(3)小区間内の点ξの取り方によってf(ξ)の和による積分結果が変わるような計算の値は定かでは無いので、その様な関数f(x)は積分することができません。
(但し、無理数は有理数の可付番無限大倍よりも多く圧倒的に多い無理数を優先して計算するルベーグ積分という定義もあります。)

(極限が存在しない点が無限にあり、積分可能な関数)

上図のノコギリ関数g(x)を使って以下の関数を作ります。

この関数f(x)は、以下のx座標で極限が存在しない。

その他、
x=奇数/(整数×2)
の点では極限値が存在しない。

しかし、この関数f(x)は積分できて、連続関数G(x)が得られる。

積分結果の連続関数G(x)は微分できるxの値がある。
(関数G(x)は、元の関数f(x)の極限が存在しない有理数のxの値では、微分不可能です)
関数G(x)の微分結果は、以下の関数g2(x)を使ってあらわすことができる。

微分結果のグラフは、以下のf(x)のグラフになります。

ただし、このf(x)のグラフは、関数f(x)の極限が存在しない有理数のxの値では、このグラフf(x)が不連続であり、かつ、グラフf(x)の関数値が存在しない。
この関数f(x)は、連続で無い点では関数値が存在しないが、関数f(x)は、連続で無い点でも関数値が存在します。
その点で、関数f(x)が、積分以前の関数f(x)と異なっています。
しかしながら、「微分可能」な変数xの値での関数f(x)の値は積分以前の関数f(x)の値と同じになります。
おもしろいことに、この関数f(x)のグラフは、
x=無理数の位置で「連続」です。
そのxの無理数の値から無限に小さい距離の近くにも有理数の値のxの連続で無い点があるにもかかわらずです。

 このように、微分積分学では、あらゆる関数に微分積分を行う理論を作ろうとすると、いろいろな難しい問題があることがわかりました。
 積分前の関数f(x)と、微分前の関数F(x)との、変数xの一部の定義域での微分積分のあり得る関係が以下の図であらわせます。

(上図で、関数f(x)は、除去可能な連続で無い点を除去した関数です。関数F(x)は、関数F(x)の連続で無い点を除いた変数xの範囲でf(x)の不定積分であるとともに、f(x)の不定積分でもあります)
 このように、関数の連続で無い点がらみで、関数f(x)とF(x)の間に難しい関係があることが分かりました。

 微分積分学で、難しい問題が生じない関数の範囲を把握して、その範囲内で微分積分の計算をすることで、応用上で微分積分を使い易くできます。
 そのため、使い易い関数として、極限が存在し、かつ、1つながりに連続な「連続関数」 を主に扱う対象にし、また、「微分可能性」で関数の変数の定義域を制限して、微分積分を行う範囲を制限します。
(ただし、連続関数というxの演算式が存在するわけでは無く、関数のグラフに連続で無い点が無い変数xの範囲を定義した定義域に制限して考える関数が連続関数と定義されます)
その範囲内で成り立つ法則を把握して、種々の公式を導き出して使うことで微分積分学を最大限に応用できるようになります。

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2022年3月6日日曜日

樹形図の基本ルール(その2)

樹形図の基本ルール:
《基本ルール》
(1)樹形図を横断する枝の総和(太さ)は常に一定。
(2)発生確率が同じ事象の樹形図の枝の太さは同じ。
(3)樹形図は、根元から枝先まで一定の太さの糸を根元側で束ねた、糸の集合でもある。1本の「糸」は、事象の連鎖の1つの場合を表す。
(4)樹形図の根から展開した複数の枝を書き、その先で、複数の枝をいったん節に束ねて糸の束を再編成して再度複数の枝(個々の枝は複数の糸の束で作る)に展開することもできる。
 樹形図の糸の束を、以下の例題のように解釈して問題を解くことができます。

【例題1】
 白球3個と赤球2個の入っている袋から、 1個ずつ順に、取り出 した球はもとに戻さずに、3個の球を取り出した。3番目の球が赤球である確率を求めよ。

【解答】
 3個の白球と2個の赤球を合わせた5個の球1つ1つを対等な球であると区別して考える。球の色分けはその対等な球に追加した付加的な区別であると考える。
 そう考えると、その5個の球の各球を取り出す確からしさは、5つの球の番号に影響されずに同様に確からしい性質を持つ。そして、下図の樹形図(樹形図の一部のみを表す)が書ける。


上図の樹形図は、取り出 した球はもとに戻さずに3個の球を順に取り出す場合を表す樹形図の糸の束の一部(1番目の球が赤球1の場合のみ)を表している。この樹形図の糸(事象の連鎖)の1本1本が同じ確からしさを持ち、どの糸の太さも同じになります。各糸(事象の連鎖)は、取り出す球の番号で示した数字の連鎖(例えば1 2 3)と等価である。それは、最小単位の「場合」を表し、その糸の総数が全ての「場合の数」を表す。
 この糸の1本の太さを1とすると、1番目に取り出す球が赤球1(球1)である糸の束の太さが4×3=12
になります。それは、1番目に取り出す球が赤球1(すなわち球1)である場合の数が12であることを意味する。


上図の、樹形図の一部の表示では、3番目の球が赤球1(球1)の場合の糸(事象の連鎖)の束を表している。
 3番目に取り出す球が赤球1(球1)である場合の樹形図の糸の束の太さは、4×3=12になります。それは3番目に取り出す球が赤球1(球1)である(事象の連鎖の)場合の数が12であることを意味する。
 この樹形図は、
3番目の束が赤球で束ねられる束の太さと、
白球で束ねられる束の太さと、
全ての束の太さ、
の比(場合の数の比)が
(2×4×3):(3×4×3):(5×4×3)
=(2×12):(3×12):(5×12)
=2:3:5
になります。
よって、 3番目の球が赤球である確率=2/5になります。
(解答おわり)


 樹形図は、最細の糸という基本単位の糸を束ねて構成されます。
 「糸」の1つは、事象の連鎖であり、樹形図の根元から枝までひとつながりである糸です。その糸を具体的に表現する方法は、各試行毎の事象の番号の連鎖:各試行毎に取り出す球の番号の連鎖(1 2 3)であらわすことができます。
 3番目に球を取り出す事象を最初に考えて樹形図を解釈することは、3番目に球を取り出した球が何になるかの場合の数を求めて確率を計算することと等価です。
場合の数を使って確率を計算するならば、球を取り出す試行の順番に依存せずに確率を計算できます。
樹形図の糸を網羅して把握できる場合は、場合の数を使った計算と等価な計算ができるため、3番目に球を取り出す試行を最初の試行として計算しても正しい確率の値を計算することができます。

 この様に、樹形図の「糸」が貫く、1番目と2番目と3番目の各試行の結果の各事象のセットを、その各試行を順番通りに考えないでも、正しい確率の値を計算することができます。

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無理関数の式への因数分解の公式

【問題1】以下の等式(1)を証明せよ。


【問題1(b)】以下の等式(1b)を証明せよ。


【問題2】以下の等式(2)を証明せよ。


【問題3】以下の等式(3)を証明せよ。


【問題4】以下の等式(4)を証明せよ。
 


【問題5】以下の等式(5)を証明せよ。


この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

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2022年2月25日金曜日

原始関数とは何か

(リンク)
▽はじめに
▽積分とは何か(リーマン積分)
▽一様連続性
▽不正確な情報から真実を見抜くコツ

▽不定積分とは何か
▽積分の特徴
▽積分可能な例
▽不定積分に積分定数Cを加える事
▽不定積分の積分定数Cの扱いの誤り
▽必ずある間違い
▽広義積分 

【原始関数とは何か】
 定積分の計算は原始関数を使うと楽になります。 

 しかし、先ず、原始関数の正しい定義が何であるかという事から話を始めなければなりません。

【原始関数の誤解される定義】
関数F(x)の定義域がわからない定義:
 ある関数F(x)を微分すると、
F’(x)=f(x)
になるとき、関数F(x)を関数f(x)の原始関数と呼ぶ。
(原始関数の定義おわり)

【原始関数の正しい定義】
 上の定義は、誤解されるあいまいな不正確な定義であり、原始関数F(x)の定義域がどの範囲であるかが示されていない(定義域が決まらなければ関数が定義されない)、明確さを欠いているので、まともな定義とは言い難いものです。

 正確な当初の原始関数の定義は:
関数F(x)が、連結区間a<x<bのどの点でも連続、かつ、微分可能な関数であれば、F(x)を微分して導関数f(x)が求められる。この場合に、F(x)を関数f(x)の原始関数と言う、
と定義されていました。
藤原松三郎の「微分積分学 第1巻」)

定義4.25.
閉区間[a, b] で定義された関数f が与えられたとき,
(a≦x≦bとなる全ての実数のxの連結区間に対して有限の値のf(x)が定義されている。)
f を導関数に持つ関数F が存在すれば,
(F(x)が、a≦x≦bの全連結区間内でF’(x)=f(x)であるとは、連結区間内の全ての実数の点で微分可能ということであり、それゆえ、F(x)はa≦x≦bで1つながりに連続な関数。)
F をf の原始関数と呼ぶ. 
(名古屋大学教授 内藤久資の講義ノート(4))
 この定義も、原始関数F(x)は、連結区間(閉区間)のどの点でも連続、かつ、微分可能な関数であって、それを微分した導関数がf(x)になる関数、と定義している。
 すなわち、原始関数は連結区間で連続な関数であり1つながりのグラフであると定義されています。

《区間という用語の意味》
 また、「区間」という数学用語は、実数の集合として定義されている用語である事に注意が必要です。
a≦x≦bを満足するxの区間という表現は、a≦x≦bの範囲内の全ての実数xという意味です。
-∞<x<∞という区間もあります。
区間はxの値の範囲を限定するためのa≦x≦bという式とは意味が異なることに注意する必要があります。
 区間a≦x≦bが命題の中に記載されている場合は、その範囲内の全ての実数xについて命題を検討する必要があります。被積分関数f(x)が定義されていない変数xの点があっても、その点も、その命題が検討されるべき点の1つです。

小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」の164ページでも:
「ある(連結)区間Iで定義された関数f(x)が与えられたとき、f(x)を導関数とする関数、すなわち、F’(x)=f(x)なる(連結区間)Iで定義された関数F(x)をf(x)の原始関数という。」
と定義されています。
 すなわち、原始関数は連結区間で連続な関数であり1つながりのグラフであると定義されています。

高校生に積分を正しく教えるサイトでの原始関数の定義:
「 f(x) を実数上の連結区間で定義された関数(区間内の全てのxに対して有限の値のf(x)が存在する)とする.このとき,同じ連結区間上の関数で, F′(x)=f(x) を満たす関数 F(x) を f(x) の原始関数と言う。」
 このサイトの定義も、原始関数は連結区間で連続な関数であり1つながりのグラフであると定義されています。

推薦できる高校数学の参考書:「生き抜くための高校数学」(芳沢光雄)でも、原始関数を、
「ある(連結)区間で定義された(被積分)関数f(x)に対し、F’(x)=f(x)となる関数F(x)があるとき、F(x)をf(x)の原始関数という。」
と定義しています
 この参考書の定義も、原始関数は連結区間で連続な関数であり1つながりのグラフであると定義されています。

(注意)
 原始関数のF(x)が1つながりに連続で微分可能でF'(x)=f(x)であっても、f(x)が1つながりに連続な連続関数になるとは限らないことに注意。F(x)が1つながりに連続で微分可能であっても微小に振動している場合があるからです。そのため、連続関数で無いf(x)に原始関数F(x)がある場合もある。

(原始関数の例)
下図の関数f(x)の原始関数F(x)を考える。
上図の関数f(x)の原始関数F(x)は、下図の様に3つある。
1つながりのグラフが1つの原始関数です。その他のグラフは別の原始関数です。上図の様に3つの別々の原始関数があります。

(積分可能な関数=被積分関数f(x)の定義域)
 なお、関数f(x)の積分は、関数が積分できなければ、積分という作業自体が意味を失います。積分が意味を持つのは、関数f(x)が積分可能な限りにおいてです。そういう、積分が意味を持つ対象の関数が積分可能な被積分関数であると言えると思います。
 積分可能という事を、関数f(x)が値を持つ事が大前提だとすると、
連結区間の全てのxの値で関数値f(x)が存在する関数を積分可能な被積分関数とすると、
上図の被積分関数f(x)は、
(1)定義域がx<-1のf(x)、
(2)定義域が-1<x<1のf(x)、
(3)定義域が1<xのf(x)、
との3つの別々の関数が別々の積分可能な被積分関数になります。
積分可能な被積分関数f(x)は、以下のように定義した原始関数F(x)と同じ区間で定義されています。
「 f(x) を実数上の連結区間で定義された関数(区間内の全てのxに対して有限の値のf(x)が存在する)とする.このとき,同じ連結区間上の関数で, F′(x)=f(x) を満たす関数 F(x) を f(x) の原始関数と言う。」

ここで、上で説明した3つの積分可能な被積分関数を合わせて1つにした関数f(x)は、x=-1とx=1でf(x)の値が存在しないので、連結区間の全てのxの値で関数値f(x)が存在するという条件を満足しないので積分可能な被積分関数とは言えないと考えます。
(注意)この、被積分関数の定義域(全てのxに対してf(x)の値が存在する連結区間を被積分関数f(x)の定義域とする)は、後に説明する広義積分
(以下の図の不連続関数(dF(x)/dx)を積分するような場合)

では緩められ、積分可能の条件がもう少し広くされます。

(定義域を狭くすれば原始関数が存在する)
 また、あらゆる値の変数xを定義域とした関数f(x)には原始関数が無くても、定義域を狭くした関数f(x)では、「1つながりの連続した関数F(x)が定義域内のどの点でも微分可能であり、F’(x)=f(x)となる」原始関数が存在します。
 例えば上図の、x=0とx=2で不連続な関数はxの全ての実数を定義域とした原始関数は持ちませんが、
0<x<2となる変数xの定義域では原始関数を持ちます。

(あいまいな原始関数の定義の問題点)
 ある関数F(x)を微分すると、F’(x)=f(x)
になる、というだけの定義なら、その定義を厳密に適用すると、
関数F(x)の定義域が分断されていても、その分断された各定義域において、
F’(x)=f(x)
となる関数(補足1の誤解された原始関数)の複数の分断された定義域をまとめて定義域にした関数も原始関数になってしまいます。
 微分可能な関数F(x)が連続関数である(その微分可能な点で関数が連続である)という事実も、F(x)の定義を、1つながりの連続関数を複数合わせた関数であると解釈する(分断された複数の定義域をまとめたものを定義域にした関数と解釈する)妨げにはなり得ません。

 高校生は、原始関数の誤った定義に従った以下の補足1の誤解された原始関数を、真の原始関数に係る公式に適用することで、間違った答えを出す矛盾に直面します。

(補足1)
F(x)=1/xをxで微分したら
になるので、
関数f(x)の原始関数が
F(x)=1/x
です。なお、F(x)=1/xは、x=0では関数値F(x)が存在せず、関数が定義されていませんが、関数が定義されている全ての点で微分した結果が全て
になるので、間違いなく、F(x)はf(x)の原始関数であると誤解します。(不連続な、誤解された原始関数の特徴)
『高校で教わる連続関数の間違った定義では、以下のように不連続な関数も連続関数と呼ばれているので、高校での誤った定義に注意すること』
 ただし、不連続な誤解された原始関数の場合は、異常な原始関数になり、例えば、
x>0で、F(x)=1/x+3,
x<0で、F(x)=1/x+100,
という、

先の原始関数の連続で無い点で分離された領域毎に異なる定数を加えて作った原始関数であっても、
F’(x)=

になります。
つまり、同じf(x)の誤解された原始関数群が、1つの誤解された原始関数F(x)+Cという形だけでは表しきれません。

 このことを、もっと単純化して考えてみます。下のグラフのように、点x=0で不連続な誤解された原始関数F(x)を考えると理解し易いと考えます。
この誤解された原始関数F(x)が、x≠0において、
dF(X)/dx=f(x)=0
となります。
被積分関数f(x)が、
x=0ではf(x)の値が定義されず、
f(x)=0 (x>0)
f(x)=0 (x<0)
という関数である場合において、
f(x)に対する誤解された原始関数F(x)は:
F(x)=C1, (x>0)
F(x)=C2, (x<0)
という、2つの定数C1とC2を使った解が得られる事を考えると理解し易くなると考えます。

この2つの異なる積分定数毎に関数を異ならせる事ができるので、異なる積分定数が設定できる部分毎に異なる関数があり、それらを一緒にして1つの関数としてはいけないと考えられます。

この1つになった原始関数は、定義域がx<0とx>0であって、その定義域の中に連続で無い点を含みましたが、積分を行う際に必要な、真の原始関数F(x)は、変数xの連結区間の中に関数F(x)が連続で無い点を含まない原始関数です。 

 誤解された原始関数F(x)を、
連続で無い点で分割し、それらの分割された連結区間毎のF(x)で定義される各々の関数が真の原始関数です。

各連結区間毎に、異なる積分定数が設定できます。
各連結区間毎に、独立に、
F(x)+C
と表す積分定数が存在します。

真の原始関数は1つの積分定数だけ持ちます。
誤解された原始関数は、微分すると同じf(x)が得られる複数の異なる積分定数を持ちます。
誤解された原始関数を、異なる積分定数毎に分割した部分が真の原始関数です。

 誤った定義に従った補足1の誤解された原始関数と、原始関数の性質として教えられる公式とが違っている矛盾を見せられた高校生が微分積分の理解に苦しむのは当たり前の事と思います。
 なぜなら、原始関数の定義が誤っているので、正しい原始関数の概念を使ったあらゆる公式が無意味な公式になります。そして、それらの無意味になった公式を使ったあらゆる公式が無意味になるからです。
 このような嘘を押し付けられ覚える事を強制され、微分積分がわからないようにされている高校生に心から同情します。 

(誤った定理に注意)
 誤解された原始関数F(x)が積分定数Cを持つという、
以下の間違った定理を証明したとする、誤りが流通しているので注意してください。

(誤った定理)
誤解された原始関数F(x)があり、
F'(x)=f(x)
であるものとする。
関数f(x)が、その定義域においてf(x)=0
ならば、
F(x)=C
である。
(誤った定理おわり)

(定理の反例)
この(誤った)定理では、
f(x)が、
x≠0で定義されていて、
x≠0では、f(x)=0
となる関数の場合は、
F(x)も、f(x)と同様に、x≠0で定義された関数としても良いものとして、
F(x)が、
x≠0で
F’(x)=f(x)である関数と定義
しています。

この場合には、

x≠0では、f(x)=0
となる関数に対して:

x≠0で F’(x)=f(x)である関数F(x)として、
x<0 : F(x)=1,
x>0 : F(x)=200,
という関数が考えられます。
この関数F(x)は、
F(x)=C
とは表す事ができません。
(反例おわり)


(正しい定理)
正しい原始関数F(x)がある。
すなわち、F(x)が、
ある連結区間内の実数全てのxで定義されていて、
その連結区間の全てで微分可能(連結区間の端点では微分可能で無くても良い)であり、
F'(x)=f(x)
であるものとする。
関数f(x)が、その連結区間において
f(x)=0
ならば、
F(x)=C
である。
(正しい定理おわり)

(正しい定理の証明)
 この定理の厳密な証明は、平均値の定理を使って証明します。
 しかし、高校生に有りがちな、平均値の定理を証明しないで(証明を知らないで)使うのは関心しません。そういうやり方は他人任せであり、自分では(平均値の定理の証明も含めた)証明の全貌が把握できず、数学センスに反します。

 ここでは、平均値の定理の証明を知らない読者のために、
平均値の定理を使わない以下の方法で証明します。
(証明開始)
F’(x)=0なので、
微分の定義から、十分小さい正の値εに関して
-ε<(F(x+Δ)- F(x))/Δ<ε, となる。
-ε<(F(x+2Δ)- F(x+Δ))/Δ<ε,
ゆえに、
-2ε<(F(x+2Δ)- F(x))/Δ<2ε,
-2ε|Δ|<F(x+2Δ)-F(x)<2ε|Δ|,
この操作を続けると、
F(x)が微分可能なxの連結区間内では、ある(微小では無い)有限の長さsについて
-ε|s|<F(x+s)-F(x)<ε|s|,
ε|s|→0
なので、
F(x+s)-F(x)=0,
F(x)の値は一定値であって、
F(x)=C,
とあらわされる。
(証明おわり)

補足:
上の証明で、
F(x+2Δ)=F(x+Δ)=F(x)
とする操作が続けられるのは、
F(x)が微分可能なxの連結区間内に限られ、
F(x)が微分できない点でこの操作が止まる。

よって、
F(x)=C
とあらわせるxの範囲は、
F(x)が微分可能なxの連結区間内、
すなわち、
F'(x)=f(x)が定義されるxの連結区間内
に限られている。



この正しい定理を使うと、
ある連結区間で定義された連続な関数
g(x)
に対して、
1つの原始関数
G(x)
が求められた場合に、
その他の全ての原始関数は、
積分定数Cを用いて、
G(x)+C,
とあらわすことができる事が
証明できる。

(補足2)関数を発見する発想の視点:
 また、関数はその定義域とセットにして定義され、定義域が異なれば異なる関数であると区別されるものなので、
関数の発見方法では、先ずは、定義域を広くした”原始関数F(x)”を考えて、その定義域を関数f(x)の定義域にまで狭くした関数F(x)をf(x)の真の原始関数F(x)と考えると良い。
そうする方が原始関数の発見方法としてわかりやすく実用的と考えます。 

(補足3)確実に正しい答えを導き出す視点:
 関数を使って正しい答えを導き出す確実な視点は、先ず、定義域を極力狭くして極めて単純な形の関数F(x)を考えます。そうすれば、その関数に、不正確であいまいで土台が壊れた定理を適用しても、扱う関数が極めて単純であるため、その答えを正しい方向に導く道の見通しが良くなり、正しい答えを出す事ができるようになります。

(補足4)
「原始関数を使って定積分を楽にする」
と言う意味は:
(1)求める関数は不定積分(=実用的原始関数)である。
(2)不定積分を計算する発想の順番を逆にして、
原始関数F(x)を先に考え、それが関数f(x)の一部分を再現できれば、その原始関数の1つながりに連続な部分が不定積分になっているので、関数f(x)の不定積分の一部分が得られたのである。
(3)不定積分の一部分を連続につなげば、全体の不定積分が得られる。
という、不定積分(=実用的原始関数)の求め方のテクニックがあるという事を意味しています。

(補足5)
 原始関数F(x)は、連結区間a<x<bのどの点でも連続、かつ、どの点でも微分可能な関数であって、F(x)を微分して導関数f(x)が求められる関数F(x)です。そういう特殊な関数の場合は、f(x)を積分すると再び原始関数が得られ、微分と積分が逆の関係を持つというきれいな関係がある事が発見されました。原始関数は、その発見のかなめ石になっている歴史的に記念すべき大切な関数だと思います。
 そのような、「連結区間a<x<bのどの点でも連続、かつ、どの点でも微分可能な関数」という大事な条件を満足しない関数の場合は、その関数を微分すると、微分と積分が逆の関係にならず、扱いが難しくなります。

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2021年12月14日火曜日

組分けの数を求める考え方

【問1】
(各人を区別できる)6人を、A組に3人、B組に2人、C組に1人に分ける組み合わせは何通りあるか。

《問題を易しくして考える》
 以下のように、より易しい問題に変換して、考える。
【問2】
(各人を区別できる)6人に、3枚の(区別できる)カードAと、2枚の(区別できる)カードBと、1枚のカードCを割り当てる組み合わせは何通りあるか。

【問2の解答】この問2の方が解きやすい。
カードA1,A2,A3,B1,B2,C1の合計6枚のカードに、
人1, 人2, 人3, 人4, 人5, 人6を割り当てる組み合わせの数は、
カードA1に6人のうちの1人を割り当て、
カードA2に残り5人のうちの1人を割り当て、
カードA3に残り4人のうちの1人を割り当て、
カードB1に残り3人のうちの1人を割り当て、
カードB2に残り2人のうちの1人を割り当て、
カードC1に残り1人のうちの1人を割り当て、
る数である。

それは、
6×5×4×3×2×1=6!
である。
(問2の解答おわり)

【問1の解答】問2の解答を利用して問1を解く。
問2におけるカードAを、A組への組分けの指定であると考える。
区別できる3人の人をA組に組分けする場合のカードAの割り当ての数は、
(A1,A2,A3)
(A1,A3,A2)
(A2,A3,A1)
(A2,A1,A3)
(A3,A1,A2)
(A3,A2,A1)
の6組=3!,
である。
その3!の場合は、 ある特定の3人の人をA組に組分けするという1つの組合わせが3!倍に数えられることを表している。
ここで、ある特定の3人の各々が、カードA1,A2,A3のどのカードを選んでも、その3人をA組に組分けすることには変わりがない1つの組み合わせであると数えることにする。
すなわち、個々のカードAの作用を区別しないという意味で個々のカードを区別しないで組み合わせの数を数える。
そのようにカードAを区別しないで、同じメンバーがA組に組分けられる1つの場合を1つの組み合わせと考えると、
その条件で数えた組み合わせの総数は、問2の解答の組み合わせの総数を3!で割り算した数に替わる。
6!/3!,
次に、個々のカードBを区別しないで、同じメンバーがB組に組分けられる場合を1つの組み合わせと考えると、
先の組み合わせの総数を更に2!で割り算した組み合わせの総数に替わる。
6!/(3!×2!),
次に、カードCを区別しないで、同じメンバーがC組に組分けられる場合を1つの組み合わせと考えると、
先の組み合わせの総数を更に1!で割り算した組み合わせの総数に替わる。
6!/(3!×2!×1!),
この式は、以下の式に整理できる。
(6×5×4/3!)(3×2/2!)(1/1!)
=()()(),
この式は、
(6人の中からA組の3人を選ぶ組み合わせの数)
×(残り3人の中からB組の2人を選ぶ組合わせの数)
×(残り1人の中からC組の1人を選ぶ組合わせの数)
を計算するものでもある。
(問1の解答おわり)

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